基数
概述
基数（基數）是随语境不同而指代两种不同数学概念的术语。其一表示集合中元素的个数，即集合的大小，是集合论的核心概念，既处理有限集合也处理无限集合的大小。其二指位置记数法中决定各位权重的底（base、radix），如十进制的10或二进制的2那样，规定表示数的体系本身。日常用语中，它还作为同音异义词指赛马骑手（騎手）或围棋、韩国象棋的棋手（棋手）。
主要内容
集合论中的基数
集合的基数通过如下方式引入：当两个集合之间存在一一对应时，定义这两个集合大小相同。有限集合的基数用自然数表示，但在无限集合中会出现与直觉不同的结果。自然数集合、整数集合和有理数集合都具有相同的基数（阿列夫零，ℵ₀），这被称为可数无限或可列无限。相反，实数集合通过康托尔的对角线论证被证明不可能与自然数一一对应，因而具有更大的基数，其大小称为连续统基数 𝔠。
根据康托尔定理，对任意集合而言，其幂集总是具有更大的基数。因此基数没有上界，存在无限增大的基数层级。基数的大小比较与运算（和、积、幂）在选择公理下得到精细整理，而连续统假设（ℵ₀与𝔠之间是否存在其他基数）由科恩于1963年证明与策梅洛-弗兰克尔公理系统独立。此后，无限基数组合论、大基数（large cardinal）理论和力迫法（forcing）成为现代集合论的主要研究领域。
记数法中的基数（底）
在位置记数法中，基数 b 指使用从 0 到 b-1 的 b 个数字来表示数的体系。例如十进制使用基数 10，二进制使用基数 2，八进制使用 8，十六进制使用 16。将任意数表示为基数 b 时，各位的位值都是 b 的幂；由于这一性质，四则运算和进制转换得以系统地进行。
在计算机科学中，二进制是基本表示方式；为便于人类阅读，将 4 位一组捆绑而成的十六进制被广泛并用。颜色代码、内存地址、字符编码（UTF-8）、加密密钥表示等都是代表性例子。此外，六十进制用于时间和角度单位，十二进制用于传统计数，六十四进制（Base64）用于二进制数据的文本编码。非整数基数（如黄金比例记数法）或负基数记数法等变体也得到了研究。
其他同音异义词
赛马骑手（騎手）是骑马参加比赛的运动员，体重和骑乘技术对竞技表现有很大影响。棋手（棋手）指围棋、韩国象棋、国际象棋等棋盘游戏的专业对局者；在韩语中通常写作“기사”以避免混淆。
最新动向
截至 2024-2025 年，基数概念在两个方向上受到关注。第一，在软件和人工智能教育中，二进制与进制转换、比特和字节单位的理解作为必备素养受到强调；在 2022 年修订课程的信息科目中，位置记数法也作为核心概念处理。量子计算中的量子比特利用 0 和 1 的叠加，因此被解释为基数 2 体系的扩展，量子算法中的进制思维也经常出现在教育资料中。
第二，在 Lean/mathlib 等形式数学证明工具中，无限基数与连续统假设的形式化不断推进，从而提高了集合论研究的可重复性和可验证性。此外，关于大语言模型的分词器在对词汇进行数值编码时，进制转换和整数表示会影响性能的分析也在增加。
相关主题
- [[记数法]]
- [[二进制]]
- [[十进制]]
- [[集合论]]
- [[康托尔]]
- [[连续统假设]]
- [[阿列夫数]]
- [[赛马]]